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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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8. Usando la regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas:
e) $\int_{1}^{4}\left(\frac{(\ln x)^{2}}{x}+x\right) dx$

Respuesta

Primero integramos la función \(\frac{(\ln x)^{2}}{x} + x\).
Para integrar \(\frac{(\ln x)^{2}}{x} + x\), integramos cada término por separado. Si vos querés lo haces todo junto en el mismo renglón. 
-> La integral de \(\frac{(\ln x)^{2}}{x}\):
Para integrar \(\frac{(\ln x)^{2}}{x}\), usamos la sustitución \(u = \ln x\), entonces \(du = \frac{1}{x} dx\) o \(dx = x \, du\).
La integral se transforma en:
$ \int \frac{(\ln x)^2}{x} \, dx = \int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{(\ln x)^3}{3} $




Ahora integremos el segundo término:
-> La integral de \(x\):

$ \int x \, dx = \frac{x^2}{2}  $


Entonces, la integral de \(\frac{(\ln x)^{2}}{x} + x\) es:
$ \int \left( \frac{(\ln x)^2}{x} + x \right) dx = \frac{(\ln x)^3}{3} + \frac{x^2}{2}  $

Ahora aplicamos Barrow, porque no te olvides que queremos calcular la integral definida : $\int_{1}^{4} \left( \frac{(\ln x)^2}{x} + x \right) dx$

$ \int_{1}^{4} \left( \frac{(\ln x)^2}{x} + x \right) dx = \left[ \frac{(\ln x)^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} $

Evaluamos en los límites de integración:
$ \left[ \frac{(\ln x)^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = \left( \frac{(\ln 4)^3}{3} + \frac{4^2}{2} \right) - \left( \frac{(\ln 1)^3}{3} + \frac{1^2}{2} \right) $
 
$ = \left( \frac{(\ln 4)^3}{3} + \frac{16}{2} \right) - \left( \frac{(\ln 1)^3}{3} + \frac{1}{2} \right) $
 
$ = \left( \frac{(\ln 4)^3}{3} + 8 \right) - \left( 0 + \frac{1}{2} \right) $
$ = \left( \frac{(\ln 4)^3}{3} + 8 \right) - \frac{1}{2} $
$ = \frac{(\ln 4)^3}{3} + 8 - \frac{1}{2} $
$ = \frac{(\ln 4)^3}{3} + \frac{16}{2} - \frac{1}{2} $
$ = \frac{(\ln 4)^3}{3} + \frac{15}{2} $ 
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Avatar Magdalena 23 de junio 09:22
Holaa, y la X que estaba al principio, cuando las integraste no la pusiste mas?

Avatar Julieta Profesor 24 de junio 12:26
@Magdalena Sí, está! pero al integrarse queda como x^2/2:

2025-06-24%2012:26:06_1042031.png
Avatar Magdalena 23 de junio 09:15
holaa, porque queda asi la integral de X? osea la X que esta sola, me perdi ahi
Avatar Julieta Profesor 24 de junio 12:24
@Magdalena Hola! Simplemente separé la integral en 2 partes, para no hacer todo junto en un mismo renglón, así les mostraba bien cómo hacer la sustitución. Pero podés hacerlo todo junto. 
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