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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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8. Usando la regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas:
e) ∫14((ln⁡x)2x+x)dx\int_{1}^{4}\left(\frac{(\ln x)^{2}}{x}+x\right) dx

Respuesta

Primero integramos la función (ln⁡x)2x+x\frac{(\ln x)^{2}}{x} + x.
Para integrar (ln⁡x)2x+x\frac{(\ln x)^{2}}{x} + x, integramos cada término por separado.
La integral de (ln⁡x)2x\frac{(\ln x)^{2}}{x}:
Para integrar (ln⁡x)2x\frac{(\ln x)^{2}}{x}, usamos la sustitución u=ln⁡xu = \ln x, entonces du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx o dx=x dudx = x \, du.
La integral se transforma en:
∫(ln⁡x)2x dx=∫u2 du=u33+C=(ln⁡x)33+C \int \frac{(\ln x)^2}{x} \, dx = \int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{(\ln x)^3}{3} + C
La integral de xx:

∫x dx=x22+C \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C

Por lo tanto, la integral de (ln⁡x)2x+x\frac{(\ln x)^{2}}{x} + x es:
∫((ln⁡x)2x+x)dx=(ln⁡x)33+x22+C \int \left( \frac{(\ln x)^2}{x} + x \right) dx = \frac{(\ln x)^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C
Ahora aplicamos Barrow:
∫14((ln⁡x)2x+x)dx=[(ln⁡x)33+x22]14 \int_{1}^{4} \left( \frac{(\ln x)^2}{x} + x \right) dx = \left[ \frac{(\ln x)^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4}
Evaluamos en los límites de integración:
[(ln⁡x)33+x22]14=((ln⁡4)33+422)−((ln⁡1)33+122) \left[ \frac{(\ln x)^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = \left( \frac{(\ln 4)^3}{3} + \frac{4^2}{2} \right) - \left( \frac{(\ln 1)^3}{3} + \frac{1^2}{2} \right)
 
=((ln⁡4)33+162)−((ln⁡1)33+12) = \left( \frac{(\ln 4)^3}{3} + \frac{16}{2} \right) - \left( \frac{(\ln 1)^3}{3} + \frac{1}{2} \right)
 
=((ln⁡4)33+8)−(0+12) = \left( \frac{(\ln 4)^3}{3} + 8 \right) - \left( 0 + \frac{1}{2} \right)
=((ln⁡4)33+8)−12 = \left( \frac{(\ln 4)^3}{3} + 8 \right) - \frac{1}{2}
=(ln⁡4)33+8−12 = \frac{(\ln 4)^3}{3} + 8 - \frac{1}{2}
=(ln⁡4)33+162−12 = \frac{(\ln 4)^3}{3} + \frac{16}{2} - \frac{1}{2}
=(ln⁡4)33+152 = \frac{(\ln 4)^3}{3} + \frac{15}{2}  
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